Разделение квадрата на мелкие квадраты и электротехника

В 1903 году Макс Ден сформулировал задачу, заключавшуюся в разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов разной площади. Здесь принципиально то, что все малые квадраты должны быть различны, в случае возможности иметь одинаковые квадраты задача имеет достаточно просто решение. Долгое время подобное разбиение считалось недостижимым, однако в 1939 году группа из четырех студентов Тринити-колледжа Кембриджского университета представила первые примеры решения этой задачи.

Ключевым открытием стало преобразование геометрической проблемы в терминологию электрических цепей с использованием законов Кирхгофа. В этой интерпретации каждый малый квадрат моделируется как резистор, где его линейный размер эквивалентен величине сопротивления. Горизонтальные границы между квадратами функционируют как узлы электрической схемы, а вертикальные разделения – как контуры или замкнутые цепи.

Первый закон Кирхгофа, который формулирует правило сохранения тока в узле (сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, покидающих его), в данном контексте означает, что длины сторон, сходящихся в узле, должны балансироваться. Второй закон, требующий, чтобы алгебраическая сумма падений напряжений по любому замкнутому контуру равнялась нулю, обеспечивает сохранение пропорций и взаимосвязь размеров квадратов при обходе контура. Таким образом, исходная задача сводится к решению системы линейных уравнений, где переменными выступают длины сторон составляющих элементов разбиения.

Дальнейшие исследования привели, в частности, в 1978 году, к нахождению минимального разбиения квадрата на 21 меньший квадрат — решение, которое было получено посредством системы из 26 уравнений.

Подробно задача описана в книгах, которые легко найти в Интернете. Кстати, разбиение на 21 квадрат во время написания книг было неизвестно - компьютеров было не так много и они были слабыми.
Мартин Гарднер. Математические головоломки и развлечения, 1971.
Яглом И.М. Как разрезать квадрат, 1968

За идею спасибо каналу "Математическая эссенция"
https://t.iss.one/math_essence

Постоянная Капрекара — это число 6174, обладающее уникальным свойством. Если взять любое четырёхзначное число (кроме тех, где все цифры одинаковые), расположить его цифры сначала в порядке убывания, затем в порядке возрастания и вычесть меньшее из большего, то, повторяя этот процесс, максимум за семь шагов всегда получится 6174.

Этот математический феномен был открыт индийским математиком Даттарая Капрекаром в 1949 году. Интересно, что аналогичная процедура для трёхзначных чисел приводит к числу 495.

Давайте проверим алгоритм Капрекара для числа 1999:

Упорядочиваем цифры: 9991 (по убыванию) и 1999 (по возрастанию)

Вычитаем: 9991 - 1999 = 7992

Повторяем процесс:

9722 - 2279 = 7443

7443 - 3447 = 3996

9963 - 3699 = 6264

6642 - 2466 = 4176

7641 - 1467 = 6174 🎉

Как и обещано, максимум за семь шагов мы пришли к 6174!

Статья на эту тему на Хабре:

https://habr.com/ru/articles/910778/

Парадокс Паррондо — это контринтуитивный результат, когда смешивание двух или более проигрышных игр может неожиданно дать выигрышный результат. Эти игры названы в честь испанского физика Дж. М. Р. Паррондо, который их вдохновил.
Игры Паррондо были разработаны испанским физиком Хуаном М. Р. Паррондо в 1996 году и были представлены в неопубликованном виде на семинаре в Турине, Италия. Примерно через три года, в 1999 году, Хармер и Эбботт опубликовали основополагающую статью об играх, назвав их в честь Паррондо, чей гений их вдохновил.

Основная идея парадокса Паррондо заключается в том, что две индивидуально проигрывающие игры можно объединить, чтобы выиграть, используя детерминированное или недетерминированное смешивание игр. Было проведено много исследований игр Паррондо после первой опубликованной статьи, что дало начало новым играм, таким как игры, зависящие от истории (вместо зависящих от капитала) и кооперативные игры (игры с несколькими игроками вместо однопользовательских).

Некоторые исследователи критиковали использование термина «парадокс» — однако мы используем его в смысле явного парадокса, и это сопоставимо с существующей терминологией, например, с «парадоксом Симпсона», «парадоксом Браесса» и «парадоксом обновления».

https://web.archive.org/web/20230307213016/https://www.eleceng.adelaide.edu.au/Groups/parrondo/

Три статьи о влиянии шума на интеллектуальные способности человека, краткие выводы



1. Умеренный уровень шума (около 70 дБ) может стимулировать креативность, вызывая более высокий уровень абстрактного мышления и увеличивая сложность обработки информации по сравнению с полной тишиной. Однако очень высокий уровень шума (85 дБ) ухудшает креативные способности за счёт снижения объёма обработанной информации.

2. Фоновый шум (музыка, бытовые звуки) снижает когнитивную производительность по всем изученным задачам (запоминание, математические расчёты, тест Струпа). Особенно негативно влияет музыка с высоким возбуждающим потенциалом и отрицательным эмоциональным воздействием.

3. Интроверты испытывают больший вред от фонового шума, чем экстраверты. Они лучше справляются с когнитивными задачами в тишине, а громкая музыка и шум сильнее ухудшают их результаты.

4. Транспортный и промышленный шум может влиять на сон, повышать уровень раздражения и гормонов стресса (катехоламинов). Он также связан с гипертонией и возможными психологическими симптомами, но не с клинически выраженными психическими расстройствами.

5. У детей хроническое воздействие шума снижает навыки чтения и ухудшает долговременную память. Кроме того, оно может способствовать повышению артериального давления.

В целом, влияние шума на когнитивные функции зависит от его интенсивности, характера, индивидуальных особенностей человека и возможности адаптации. Интересно, что умеренный шум по сравнению с полной тишиной может даже способствовать творческому мышлению, тогда как высокий уровень шума и хаотичные звуки оказывают вредное воздействие.

https://www.jstor.org/stable/10.1086/665048?seq=12
https://www.researchgate.net/publication/238333188_The_effect_of_background_music_and_background_noise_on_the_task_performance_of_introverts_and_extraverts
https://academic.oup.com/bmb/article-abstract/68/1/243/421340?redirectedFrom=fulltext

Тайна места 11А

В двух авиакатастрофах с интервалом в 27 лет выжил пассажир, сидевший на месте 11А.
Звучит как что-то невероятное...
Начинаем разбираться:

Первая катастрофа — это рейс Thai Airways International TG261, произошедший 11 декабря 1998 года.
Маршрут: из Бангкока (аэропорт Донмыанг) в Сураттхани, Таиланд
Место катастрофы: примерно в 700 метрах к югу от аэропорта Сураттхани
Тип самолёта: Airbus A310-204
Людей на борту: 146 (132 пассажира и 14 членов экипажа)
Выживших: 45 человек
Погибших: 101 человек

Сводка по второй катастрофе — рейсу Air India AI171:
Дата: 12 июня 2025 года
Маршрут: Ахмадабад (Индия) — Лондон (аэропорт Гатвик)
Место катастрофы: рядом с аэропортом имени Сардара Валлабхай Пателя, Ахмадабад, Индия
Тип самолёта: Boeing 787-8 Dreamliner (бортовой номер VT-ANB)
Людей на борту: 242 (230 пассажиров и 12 членов экипажа)
Выживших: 1 человек — Вишваш Кумар Рамеш, сидевший на месте 11A
Погибших: 241 человек на борту и 38 человек на земле.

Оценка показывает, что вероятность того, что выжившие в двух катастрофах были на месте 11А около 0.001.
В тоже время, совпадение мест выживших в двух катастрофах вероятно на уровне 15–20%.

Здесь аналогия с парадоксом дней рождения: есть группа людей, выберем одного из этой группы, вероятность, что в группе окажутся ещё один человек, для которого день рождения совпадает с днём рождения выбранного весьма мала, а вот вероятность, что в группе окажется два человека с совпадающими днями рождения достаточно высокая, даже при относительно небольшой численности группы.

Интересное видео о законах сохранения и симметрии

Название видео не очень удачное, на самом деле в космических масштабах в общей теории относительности (ОТО) закон сохранения энергии не нарушается, но принимает гораздо более сложную форму, чем в классической физике. Причина в том, что в ОТО пространство и время искривлены гравитацией, и глобального закона сохранения энергии в привычном смысле просто не существует.

В классической механике и специальной теории относительности энергия сохраняется благодаря однородности времени (по теореме Нётер). Но в ОТО пространство-время может быть неоднородным и динамически изменяющимся, особенно в присутствии гравитационных волн, чёрных дыр или расширяющейся Вселенной.

📉 Что это значит на практике?
В локальных областях (например, в лаборатории или вблизи планеты) можно ввести понятие энергии и говорить о её сохранении.

Но в глобальном масштабе, например, во всей Вселенной, нельзя однозначно определить общую энергию — особенно гравитационного поля. Это связано с тем, что гравитация в ОТО описывается не как сила, а как геометрия пространства-времени.

https://youtu.be/B1ULvYY-0Uo?si=7McmKZn1IYmQtPsY

Читаю книгу Портера и Зингаро о программировании на Python с помощью ChatGPT.
Можно ли считать большую языковую модель языком программирования сверхвысокого уровня, который находится над языками высокого уровня?

Интересное открытие: уже пять взаимодействующих электронов ведут себя как большое количество взаимодействующих частиц и позволяют использовать макро модели для своего описания

Физики выяснили, что для образования сильного взаимодействия между электронами достаточно трех частиц. Чтобы их связь повторяла поведение сотен миллиардов электронов, число стоит увеличить до пяти. Исследование опубликовано в журнале Nature.

Эксперимент показал, что три электрона вместе ведут себя как сильно коррелированная кулоновская жидкость и подчиняются статистике микроскопических систем. При увеличении числа частиц до пяти общность частиц демонстрирует свойства квантовой жидкости, макроскопической системы.

https://www.nature.com/articles/s41586-025-09139-z
На русском
https://naked-science.ru/article/physics/3-electrons-is-enough

Статья Стивена Вольфрама о Лейбнице с большим количеством фотографий из работ Лейбница
https://writings.stephenwolfram.com/2013/05/dropping-in-on-gottfried-leibniz/
Перевод на русский
https://un-sci.com/ru/2020/02/02/detalnyj-vzglyad-na-nasledie-lejbnicza/

Математик Джим Саймонс - создал один из самых успешных хедж-фондов в истории. Financial Times назвала Джима Саймонса «самым умным из миллиардеров». По версии The Economist, он считается «самым успешным инвестором всех времён». 
Однако... Уоррен Буффетт со своей стратегией "купил и держи" на растущем рынке тоже оказался весьма неплох...

Парадокс двух детей: вы встретили на прогулке соседей с сыном. Известно, что у них двое детей. Какова вероятность, что второй их ребенок тоже мальчик?

Казалось бы, детская задачка, но всё не так однозначно.

Если два ответа ½ и ⅓.
Кто из них прав?
В каком-то смысле, правы оба. Просто каждый представляют себе свой способ, как была получена информация о ребёнке. На самом деле это и есть условие задачи. Только скрытое. 

Парадокс кошельков Два игрока вскрывают кошельки, и тот, у кого денег меньше, отдаёт всё второму. Честная ли это игра?

https://habr.com/ru/articles/912270/

В статье «Теория всего найдена. Время больше не линейка — оно объём» предлагается радикальный пересмотр базовой структуры реальности:

1. Время перестаёт быть одномерной «прямой» и превращается в трёхмерный объём.
По словам автора, вместо привычного «1 время + 3 пространства» мы должны думать о трёх временных осях, из которых пространство «вытекает» как побочный эффект и «краска на холсте» этого объёмного времени.

2. Пространственно-временной континуум Эйнштейна меняется на «временной континуум», где пространство – лишь локальная манифестация глубинных временных связей.
Такая схема, как утверждается, объясняет квантовые флуктуации и «пузырчатую» структуру вакуума без привлечения дополнительных пространственных измерений.

3. Это позволяет объединить гравитацию и квантовую механику «изнутри», поскольку гравитационные поля оказываются просто градиентами в трёхмерном времени.
В перспективе модель должна дать новые предсказания для сильных гравитационных полей (чёрных дыр, ранней вселенной) и постулаты космологии.

4. Главная инновация – перенести акцент с поиска «единого пространства» на «объём времени», предложив экспериментальные тесты (изменение осцилляций в сверхплотных условиях и тонкие аномалии в гравитационных волнах), которые, по мнению автора, в ближайшие годы могут подтвердить новый взгляд на время и пространство.

https://www.worldscientific.com/doi/10.1142/S2424942425500045

Гипотеза Коллатца — это одна из самых простых по формулировке, но до сих пор неразрешённых задач математики. Её ещё называют проблемой 3n+1 или сиракузской проблемой.

### 🔢 В чём суть:
Возьми любое натуральное число n и выполни следующий алгоритм:

1. Если число чётное — раздели его на 2.
2. Если нечётное — умножь на 3 и прибавь 1.
3. Повторяй эти шаги с каждым новым числом.

Гипотеза утверждает, что каким бы числом ты ни начал, ты всегда в итоге придёшь к 1, а затем попадёшь в цикл: 4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1...

### 🧠 Пример:
Начнём с 6:
- 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

### ❗ Почему это интересно:
- Проверено триллионы чисел — и все они действительно приходят к 1.
- Но доказательства для всех натуральных чисел нет.
- Даже великие математики (включая Теренса Тао) пока не смогли доказать или опровергнуть гипотезу.

### 🌀 Почему это сложно:
Хотя алгоритм элементарен, поведение чисел непредсказуемо. Некоторые числа (например, 27) дают длинные и хаотичные последовательности, прежде чем дойти до 1.

P.S. Я представляю эту задачу с точки зрения теории управления, как нахождение критерия устойчивости в целом некой дискретной динамической системы.

Помню 25 лет назад мне сразу после аспирантуры поручили читать довольно серьезный курс "Проектирование систем автоматизированной обработки информации и управления".
Готов я к нему был весьма посредственно и по-сути все свёл к тому что знал: как правильно составить непротиворечивое и полное техническое задание и как потом разработать структуру системы, проведя декомпозицию задачи на подзадачи...
Хм... А вот теперь смотрю из нашего времени, когда есть большие языковые модели... Так нормальный курс я читал, ибо для разработки средненькой системы обработки информации и управления больше ничего знать и не нужно... Только корректно поставить задачу и разбить ее на подзадачи, с которыми вполне справится AI. :)

Первые аналоги ЧатаЖПТ появились 20 лет назад, но тогда в силу их не очень большой сообразительности не приобрели большой популярности. В статье 2006 года про российский чат-бот...
Как молоды мы были!
https://habr.com/ru/articles/4197/?fbclid=IwQ0xDSwLZ28xjbGNrAtnZ7mV4dG4DYWVtAjExAAEegNWdNDMEQ9o2MmGb0yehfkOyUauY9FT3jT4_aS_HEeFETXlBRV1hvCrwCBk_aem_MaLaPZsY5m_rMfrApWektQ

Мой любимый парадокс Монти Холла

Изложу его в виде, дающим больший эффект, чем оригинал:
Вам показывают 100 закрытых коробочек (например они стоят в виде квадрата 10 на 10), в одной из коробочек лежит золотой слиток, если вы отгадаете эту коробочку, то он ваш.
Вы выбираете коробку, после чего ведущий открывает 98 коробок (но не выбранную вами) и показывает, что в них ничего нет, затем предлагает вам или сохранить свой выбор или поменять выбор и выбрать другую оставшуюся коробку.
Что нужно делать и какова вероятность выигрыша при сохранении и изменении решения?

Согласно новой работе международной группы физиков, опубликованной в репозитории arXiv, Вселенная прекратит существование через 33,3 миллиарда лет — и произойдёт это в форме так называемого Большого сжатия (Big Crunch).
Согласно расчётам, сейчас наш мир находится на середине своего пути: ему около 13,8 миллиарда лет, а до финала — примерно 20 миллиардов.
Противореча распространённой гипотезе вечного расширения, модель предсказывает, что Вселенная продолжит раздуваться ещё около 7 миллиардов лет, достигнет максимального размера (на 69% больше нынешнего), после чего начнёт сжиматься, а в финале схлопнется в единую точку.
По метафоре авторов, Вселенная похожа на гигантскую резинку: сначала её растягивают, но затем эластичная сила побеждает — и всё возвращается в исходную точку.

https://arxiv.org/abs/2506.24011

На русаком: https://www.securitylab.ru/news/561099.php

Это удивительно, но нет единой исчерпывающей математической модели полета в воздухе... Почти как говорил Задорнов: Я окончил МАИ, но не понимаю, почему самолёт летает, а крыльями не машет...

🛩 Вопрос о природе подъёмной силы остаётся предметом дискуссий даже среди профессиональных физиков и инженеров. Но это не значит, что мы совсем не понимаем, почему летает самолёт. Скорее, у нас есть несколько моделей, каждая из которых объясняет часть явления, но ни одна не даёт полного, интуитивно простого ответа.
🔍 Почему нет единой теории?
Аэродинамика — это нелинейная наука, основанная на уравнениях Навье–Стокса, которые описывают движение вязкой жидкости (в данном случае — воздуха). Эти уравнения не имеют аналитического решения в общем виде.
Поэтому инженеры используют численные методы, экспериментальные данные и приближённые модели.

📌 Вывод: мы знаем, как заставить самолёт летать, но не имеем единого, простого и всеобъемлющего объяснения, которое бы удовлетворяло и интуицию, и строгую физику.

Вот такая дискуссия получилась:

Чат ЖПТ, это сборник решённых задачек. Называть умом тупое повторение... Попугаи тогда тоже весьма умные.

Mathematical Models of the Real World, [11.07.2025 22:26]
Уже нет, он очень умен. Порой чудовищно, до ужаса.
Это как шахматисты смеялись над программами, играющими в шахматы, а потом эти программы стали их обыгрывать...
Сейчас уже не смешно программистам, когда он за считанные секунды выдает код на написание которого профессионалам нужны часы, дни и даже недели. Не смешно врачам, ибо он уже ставит диагнозы намного лучше среднего врача.
Следом будут плакать математики, когда он лучше их будет решать задачи и доказывать теоремы. Собственно, он уже сейчас лучше решает все типовые задачи не только школьной, но и вузовской математики.