Вышло второе издание книги С.М. Натанзона "Гладкие многообразия: От дифференциала до структуры Дубровина—Фробениуса"
Книга посвящена изложению основ теории гладких многообразий как одного из центральных понятий современной математики
Первая часть содержит важнейшие результаты классического математического анализа
Во второй части излагается теория гладких многообразий (включая теоремы Уитни и Стокса) и векторных расслоений, а также риманова геометрия
В третьей части изучаются алгебраические свойства гладких многообразий с помощью методов теории пучков и алгебраической топологии
Четвертая часть книги посвящена частному случаю гладких многообразий — фробениусовым многообразиям
Дифференциально-геометрические аспекты этой теории оказываются тесно связанными с математической физикой, в частности с уравнениями WDVV
Предыдущее издание книги вышло в 2022 году
https://biblio.mccme.ru/node/300853
Книга посвящена изложению основ теории гладких многообразий как одного из центральных понятий современной математики
Первая часть содержит важнейшие результаты классического математического анализа
Во второй части излагается теория гладких многообразий (включая теоремы Уитни и Стокса) и векторных расслоений, а также риманова геометрия
В третьей части изучаются алгебраические свойства гладких многообразий с помощью методов теории пучков и алгебраической топологии
Четвертая часть книги посвящена частному случаю гладких многообразий — фробениусовым многообразиям
Дифференциально-геометрические аспекты этой теории оказываются тесно связанными с математической физикой, в частности с уравнениями WDVV
Предыдущее издание книги вышло в 2022 году
https://biblio.mccme.ru/node/300853
3 сентября, родился Соломон Лефшец (1884–1972) — один из самых ярких математиков XX века
Его имя носят «теорема Лефшеца», «карандаши Лефшеца» и многое другое, что навсегда вошло в язык математики
После тяжелой травмы на заводе он потерял обе руки и всю жизнь пользовался протезами
Но именно тогда он решил посвятить себя математике — и сделал фундаментальные открытия в алгебраической топологии, геометрии и теории нелинейных уравнений
Теорема Лефшеца о неподвижной точке
Представьте: у вас есть поверхность (например, сферa или пончик-тор), и вы берёте непрерывное преобразование этой поверхности (растянули, сжали, покрутили — но без «разрывов» и «склеек»)
Интуитивный вопрос: есть ли точка, которая при этом преобразовании останется на месте?
Теорема Лефшеца даёт общий ответ:
Она связывает наличие неподвижных точек с глубокой алгебраической информацией о пространстве, так называемыми гомологиями
С помощью алгебраических вычислений можно заранее предсказать, что любая «карта» (функция) обязана иметь неподвижную точку — даже не зная саму карту!
На сфере любая «кривая» деформация обязательно оставляет хотя бы одну точку на месте (это обобщает известную теорему Брауэра)
Но для тора (пончик) возможны преобразования без неподвижных точек, и теорема Лефшеца точно объясняет, в каких случаях они есть, а в каких — нет
Эта идея оказалась настолько мощной, что стала одним из краеугольных камней современной математики, от динамических систем до геометрии и робототехники
Его имя носят «теорема Лефшеца», «карандаши Лефшеца» и многое другое, что навсегда вошло в язык математики
После тяжелой травмы на заводе он потерял обе руки и всю жизнь пользовался протезами
Но именно тогда он решил посвятить себя математике — и сделал фундаментальные открытия в алгебраической топологии, геометрии и теории нелинейных уравнений
Теорема Лефшеца о неподвижной точке
Представьте: у вас есть поверхность (например, сферa или пончик-тор), и вы берёте непрерывное преобразование этой поверхности (растянули, сжали, покрутили — но без «разрывов» и «склеек»)
Интуитивный вопрос: есть ли точка, которая при этом преобразовании останется на месте?
Теорема Лефшеца даёт общий ответ:
Она связывает наличие неподвижных точек с глубокой алгебраической информацией о пространстве, так называемыми гомологиями
С помощью алгебраических вычислений можно заранее предсказать, что любая «карта» (функция) обязана иметь неподвижную точку — даже не зная саму карту!
На сфере любая «кривая» деформация обязательно оставляет хотя бы одну точку на месте (это обобщает известную теорему Брауэра)
Но для тора (пончик) возможны преобразования без неподвижных точек, и теорема Лефшеца точно объясняет, в каких случаях они есть, а в каких — нет
Эта идея оказалась настолько мощной, что стала одним из краеугольных камней современной математики, от динамических систем до геометрии и робототехники
Apple создали Ml-модели, которые работают на iPhone в 85 раз быстрее аналогов при сопоставимой точности
Представлены 2 новые Ml-модели — FastVLM и MobileCLIP2
Эти модели могут:
• одновременно обрабатывать изображения, видео и текст
• генерировать субтитры для видео в реальном времени
• прямо на устройстве или в браузере без подключения к облачным серверам
Представлены 2 новые Ml-модели — FastVLM и MobileCLIP2
Эти модели могут:
• одновременно обрабатывать изображения, видео и текст
• генерировать субтитры для видео в реальном времени
• прямо на устройстве или в браузере без подключения к облачным серверам
Telegram
All about AI, Web 3.0, BCI
Apple just released FastVLM and MobileCLIP2 on Hugging Face.
The models are up to 85x faster and 3.4x smaller than previous work, enabling real-time vision language model (VLM) applications.
It can even do live video captioning 100% locally in your browser.…
The models are up to 85x faster and 3.4x smaller than previous work, enabling real-time vision language model (VLM) applications.
It can even do live video captioning 100% locally in your browser.…
Математика_для_старшеклассников_2_книги_Супрун_В_Л.zip
3.7 MB
Изучение нестандартных методов позволит не только расширить область успешно решаемых "школьных" задач по математике, но и будет способствовать развитию у старшеклассников нестандартного мышления
Пособия адресованы учащимся общеобразовательных школ, гимназий, лицеев, колледжей, абитуриентам, учителям математики, руководителям школьных математических кружков, репетиторам, организаторам математических олимпиад и преподавателям вузов, принимающим вступительные конкурсные экзамены по математике
Избранные задачи повышенной сложности по математике [2008] Валерий Супрун
Математика для старшеклассников
Нестандартные методы решения задач [2009] В.П. Супрун
Пособия адресованы учащимся общеобразовательных школ, гимназий, лицеев, колледжей, абитуриентам, учителям математики, руководителям школьных математических кружков, репетиторам, организаторам математических олимпиад и преподавателям вузов, принимающим вступительные конкурсные экзамены по математике
Избранные задачи повышенной сложности по математике [2008] Валерий Супрун
Математика для старшеклассников
Нестандартные методы решения задач [2009] В.П. Супрун
Летом 2022 года, лучшие умы планеты — «суперпрогнозисты» и ведущие отраслевые эксперты — собрались на турнир, чтобы предсказать будущее на ближайшие 2-3 года
Они делали ставки на прогнозы экзистенциальных рисков для человечества
И уже тогда было очевидно, что один из таких рисков – бурный прогресс в области Ml
И вот сегодня вышел новый отчет, анализирующий точность тех прогнозов (Assessing Near-Term Accuracy in the Existential Risk Persuasion Tournament)
Все прогнозы провалились
Масштаб недооценки поражает
Математические способности (MATH Dataset):
• Ml достиг 87.8 % в апреле 2024
• Эксперты давали вероятности этого 21 %
• Суперпрогнозисты — 9 %
Общие знания (MMLU):
• Ml набрал 88.7 % к середине 2024
• Эксперты оценивали это в 25 %
• Суперпрогнозисты - давали 7 %
Математическая олимпиада:
• Ml получил золото в июле 2025
• Эксперты думали это случится после 2030
• Суперпрогнозисты — после 2035
• Вероятность, что это случится в 2025, была, по их мнению - 8.6 % и 2.3 %
Вычислительная мощность:
• Суперпрогнозисты недооценили в 5 РАЗ
Что это означает
Турнир закончился ДО выхода ChatGPT в ноябре 2022
Началась фаза технологической сингулярности: скорость прогресса стала настолько высокой, что любые прогнозы теряют смысл из-за систематических недооценок
Малоприятный вывод
Если лучшие эксперты мира недооценивают скорость развития ИИ в 5-10 раз, то:
Тогда вопрос на много триллионов $
Ведь если даже лучшие эксперты не могут предсказать прогресс на 2 года вперёд, может быть, пора признать, что никто больше не контролирует скорость происходящего?
Отчет — первое реальное доказательство этого
Они делали ставки на прогнозы экзистенциальных рисков для человечества
И уже тогда было очевидно, что один из таких рисков – бурный прогресс в области Ml
И вот сегодня вышел новый отчет, анализирующий точность тех прогнозов (Assessing Near-Term Accuracy in the Existential Risk Persuasion Tournament)
Все прогнозы провалились
Масштаб недооценки поражает
Математические способности (MATH Dataset):
• Ml достиг 87.8 % в апреле 2024
• Эксперты давали вероятности этого 21 %
• Суперпрогнозисты — 9 %
Общие знания (MMLU):
• Ml набрал 88.7 % к середине 2024
• Эксперты оценивали это в 25 %
• Суперпрогнозисты - давали 7 %
Математическая олимпиада:
• Ml получил золото в июле 2025
• Эксперты думали это случится после 2030
• Суперпрогнозисты — после 2035
• Вероятность, что это случится в 2025, была, по их мнению - 8.6 % и 2.3 %
Вычислительная мощность:
• Суперпрогнозисты недооценили в 5 РАЗ
Что это означает
Турнир закончился ДО выхода ChatGPT в ноябре 2022
Началась фаза технологической сингулярности: скорость прогресса стала настолько высокой, что любые прогнозы теряют смысл из-за систематических недооценок
Малоприятный вывод
Если лучшие эксперты мира недооценивают скорость развития ИИ в 5-10 раз, то:
текущие прогнозы достижения человеческого уровня к 2030 году (типа «мягкой сингулярности Сэма Альтмана»), могут осуществиться уже в 2026
Тогда вопрос на много триллионов $
Готовы ли люди к тому, что Ml человеческого уровня появится не через 5 лет, а через год?
Ведь если даже лучшие эксперты не могут предсказать прогресс на 2 года вперёд, может быть, пора признать, что никто больше не контролирует скорость происходящего?
Отчет — первое реальное доказательство этого
🤷♂1
Сравнивались суперфоркастеры, доменные эксперты, не-доменные эксперты и X-риск генералисты
Суперфоркастеры и доменные эксперты сильно превзошли образованную публику, и в целом равны между собой
Также продемонстрирована wisdom of crowds, когда агрегированное мнение лучше одиночных
Интересно про прогресс в AI, он недооценены, особенно суперфоркастерами
Самый большой сюрприз на международной математической олимпиаде (IMO), которую тут недавно все анонсировали, здесь медиана предсказателей была 2030-2035
Прогресс в климатических технологиях наоборот переоценен
Нашёл здесь
Сам репорт тут:
First Wave Forecasting Accuracy Results from the Existential Risk Persuasion Tournament
https://forecastingresearch.org/near-term-xpt-accuracy
Отдельно интересно приложение A5.1 Distributions for AI-Related Questions
Суперфоркастеры и доменные эксперты сильно превзошли образованную публику, и в целом равны между собой
Также продемонстрирована wisdom of crowds, когда агрегированное мнение лучше одиночных
Интересно про прогресс в AI, он недооценены, особенно суперфоркастерами
Самый большой сюрприз на международной математической олимпиаде (IMO), которую тут недавно все анонсировали, здесь медиана предсказателей была 2030-2035
Прогресс в климатических технологиях наоборот переоценен
Нашёл здесь
Сам репорт тут:
First Wave Forecasting Accuracy Results from the Existential Risk Persuasion Tournament
https://forecastingresearch.org/near-term-xpt-accuracy
Отдельно интересно приложение A5.1 Distributions for AI-Related Questions
🤔1
Существуют математические теоремы, которые в настоящее время имеют только „внешние“ решения, потому что они остаются все еще слишком сложными для конструктивного понимания
Примерами их являются некоторые случаи так называемого доказательства от противного, непрямого доказательства, в котором используется принцип исключенного третьего, показывающий, что принятие противоположной посылки невозможно, поскольку оно ведет к противоречию
Но такое доказательство не позволяет понять, как конструктивно достигается позитивное решение (Брауэр презрительно называл такие непрямые доказательства „позвоночным мышлением“)
Насколько обоснованно требование не признавать результаты, _которые могут быть получены только таким способом_
Существует огромное различие между осмысленным решением, основанным на понимании сущности задачи, и решением, совершаемым посредством внешних действий
Примерами их являются некоторые случаи так называемого доказательства от противного, непрямого доказательства, в котором используется принцип исключенного третьего, показывающий, что принятие противоположной посылки невозможно, поскольку оно ведет к противоречию
Но такое доказательство не позволяет понять, как конструктивно достигается позитивное решение (Брауэр презрительно называл такие непрямые доказательства „позвоночным мышлением“)
Насколько обоснованно требование не признавать результаты, _которые могут быть получены только таким способом_
Существует огромное различие между осмысленным решением, основанным на понимании сущности задачи, и решением, совершаемым посредством внешних действий
В истории философии и науки есть фигуры настолько не заурядные и причудливые, что их затмевают более «удобные» для истории персонажи
Один из них — Адам Хёне-Вронский (1776–1853), польский математик, мистик и визионер, чья жизнь похожа на роман
Он был прототипом персонажа у Бальзака («Поиски абсолюта») и учителем Элифаса Леви, превратившегося под его влиянием из аббата в великого оккультиста
В чем же феномен Вронского?
Пытался найти абсолютную истину и универсальные законы бытия через синтез математики и каббалы
Его работы опережали время, но были настолько сложны и неортодоксальны, что научное сообщество их отвергало
Говорят, даже Лаплас был потрясен и воскликнул: — «Только поляк мог внедрить мистику в математику»
Сконструировал фантастический аппарат — несколько концентрических сфер, покрытых уравнениями и надписями
Верил, что в этом приборе заключен свод всех наук и даже рассчитанное будущее. Механический оракул, воплощение мечты о всезнании
Его главная идея — возможность достижения абсолютного знания через объединение рационального расчета и откровения
Он искал мессианскую роль для науки, что делает его фигуру ключевой для понимания европейского оккультизма XIX века
Вронский умер в нищете, оставив горы неопубликованных рукописей
Один из них — Адам Хёне-Вронский (1776–1853), польский математик, мистик и визионер, чья жизнь похожа на роман
Он был прототипом персонажа у Бальзака («Поиски абсолюта») и учителем Элифаса Леви, превратившегося под его влиянием из аббата в великого оккультиста
В чем же феномен Вронского?
Пытался найти абсолютную истину и универсальные законы бытия через синтез математики и каббалы
Его работы опережали время, но были настолько сложны и неортодоксальны, что научное сообщество их отвергало
Говорят, даже Лаплас был потрясен и воскликнул: — «Только поляк мог внедрить мистику в математику»
Сконструировал фантастический аппарат — несколько концентрических сфер, покрытых уравнениями и надписями
Верил, что в этом приборе заключен свод всех наук и даже рассчитанное будущее. Механический оракул, воплощение мечты о всезнании
Его главная идея — возможность достижения абсолютного знания через объединение рационального расчета и откровения
Он искал мессианскую роль для науки, что делает его фигуру ключевой для понимания европейского оккультизма XIX века
Вронский умер в нищете, оставив горы неопубликованных рукописей
Рекомендация лекции Михаила Цфасмана на «Культуре»
Михаил Анатольевич часто разбирает относительно элементарные, но очень глубокие сюжеты
Они оказываются связаны с большой математикой, требуют идей из самых разных областей — и ведут к открытым проблемам и современным результатам
На Летней Школе Современная Математика Цфасман читал обзоную лекцию о задаче об упаковках шаров (ютуб, маснет)
Это еще один пример того, как из простой постановки вырастают серьёзные вопросы на стыке разных наук
Две лекции — на «Культуре» и на ЛШСМ — радикально различаются по уровню сложности, но обе совершенно замечательные
В этом году на математической карте Москвы появилось еще одно место силы — Высшая школа современной математики в МФТИ
Это небольшая программа, где готовят профессиональных математиков на мировом уровне
Михаил Анатольевич её научный руководитель, и тем, кто будет там учиться, очень повезёт слушать его лекции
Михаил Анатольевич часто разбирает относительно элементарные, но очень глубокие сюжеты
Они оказываются связаны с большой математикой, требуют идей из самых разных областей — и ведут к открытым проблемам и современным результатам
На Летней Школе Современная Математика Цфасман читал обзоную лекцию о задаче об упаковках шаров (ютуб, маснет)
Это еще один пример того, как из простой постановки вырастают серьёзные вопросы на стыке разных наук
Две лекции — на «Культуре» и на ЛШСМ — радикально различаются по уровню сложности, но обе совершенно замечательные
В этом году на математической карте Москвы появилось еще одно место силы — Высшая школа современной математики в МФТИ
Это небольшая программа, где готовят профессиональных математиков на мировом уровне
Михаил Анатольевич её научный руководитель, и тем, кто будет там учиться, очень повезёт слушать его лекции
Telegram
Wild Mathing
Две научно-популярные лекции о математике. Обе с проекта ACADEMIA, в рамках которого записаны сотни выступлений ученых мирового уровня (по разным направлениям) — рекомендую посмотреть плейлисты.
🎬 Николай Андреев. Математические этюды
Как обычно, Н.Н. завлекает…
🎬 Николай Андреев. Математические этюды
Как обычно, Н.Н. завлекает…
👍2
Узкое место информационного насыщения: скрытый предел предобучения с учителем
Title: These Are Not All the Features You Are Looking For: A Fundamental Bottleneck in Supervised Pretraining
Authors: Xingyu (Alice) Yang, Jianyu Zhang, Léon Bottou
https://arxiv.org/abs/2506.18221
https://github.com/facebookresearch/richreps-timecat
Title: These Are Not All the Features You Are Looking For: A Fundamental Bottleneck in Supervised Pretraining
Authors: Xingyu (Alice) Yang, Jianyu Zhang, Léon Bottou
https://arxiv.org/abs/2506.18221
https://github.com/facebookresearch/richreps-timecat
arXiv.org
These Are Not All the Features You Are Looking For: A Fundamental...
Transfer learning is a cornerstone of modern machine learning, promising a way to adapt models pretrained on a broad mix of data to new tasks with minimal new data. However, a significant...
Ml
Узкое место информационного насыщения: скрытый предел предобучения с учителем Title: These Are Not All the Features You Are Looking For: A Fundamental Bottleneck in Supervised Pretraining Authors: Xingyu (Alice) Yang, Jianyu Zhang, Léon Bottou https://a…
Работа про репрезентации, хорошо дополняет предыдущую (и вышла до неё)
Работа показывает, что тренд на увеличение размера модели не решает проблему выучивания хороших репрезентаций, они получаются недостаточно разнообразными
Авторы предлагают свой метод обучения нескольких моделей на разных задачах и конкатенации в одну, который требует столько же вычислительных ресурсов, как и обучение одной большой модели
Работа показывает, что тренд на увеличение размера модели не решает проблему выучивания хороших репрезентаций, они получаются недостаточно разнообразными
Авторы предлагают свой метод обучения нескольких моделей на разных задачах и конкатенации в одну, который требует столько же вычислительных ресурсов, как и обучение одной большой модели
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ_АНАЛИЗ_для_школьников.pdf
448.6 KB
Методическое пособие по математическому анализу для школьников
Пособие отличается от классических подходов к матанализу тем, что оно полностью избегает традиционного, сложного для школьников формального определения предела, заменяя его интуитивно понятным аппаратом дифференциалов и акцентом на вычислительные алгоритмы
Главная его особенность - построение всего курса на основе практического, "алгоритмического" определения действительных чисел и производной
Это делает теорию доступной и тесно связывает её с физическими и геометрическими приложениями
Пособие отличается от классических подходов к матанализу тем, что оно полностью избегает традиционного, сложного для школьников формального определения предела, заменяя его интуитивно понятным аппаратом дифференциалов и акцентом на вычислительные алгоритмы
Главная его особенность - построение всего курса на основе практического, "алгоритмического" определения действительных чисел и производной
Это делает теорию доступной и тесно связывает её с физическими и геометрическими приложениями
Вроде бы (высшая) гомотопическая ассоциативность и (высшая) гомотопическая коммутативность (умножения где-нибудь) — скорее независимые вещи
Они и кодируются немного разной комбинаторикой: ассоциэдрами vs пермутоэдрами (оба многогранника — частный случай граф-ассоциэдра; обычный ассоциэдр соответствует графу-цепочке, а пермутоэдр — полному графу)
Но есть вот какая связь
Логично, что морфизмы в категории гомотопически ассоциативных колец — это "гомотопические гомоморфизмы"* (то есть для объектов свойство (a*b)*c=a*(b*c) выполнено с точностью до гомотопии, а для морфизмов свойство f(a*b)=f(a)*f(b) выполнено с точностью до гомотопии)
С другой стороны, кольцо R коммутативно тогда и только тогда, когда отображение умножения R⊗R->R является гомоморфизмом колец
Вот и "описали гомотопическую коммутативность объекта через гомотопическую ассоциативность морфизма"
*можно, кстати, рассматривать категорию строго ассоциативных колец и "гомотопических гомоморфизмов" (если правильно помню, примерно об этом категория DASH Манкхольма: differential algebras + strongly homotopy multiplicative maps
Сейчас вместо "shm map" мы говорим "A_∞-морфизм")
Они и кодируются немного разной комбинаторикой: ассоциэдрами vs пермутоэдрами (оба многогранника — частный случай граф-ассоциэдра; обычный ассоциэдр соответствует графу-цепочке, а пермутоэдр — полному графу)
Но есть вот какая связь
Логично, что морфизмы в категории гомотопически ассоциативных колец — это "гомотопические гомоморфизмы"* (то есть для объектов свойство (a*b)*c=a*(b*c) выполнено с точностью до гомотопии, а для морфизмов свойство f(a*b)=f(a)*f(b) выполнено с точностью до гомотопии)
С другой стороны, кольцо R коммутативно тогда и только тогда, когда отображение умножения R⊗R->R является гомоморфизмом колец
Вот и "описали гомотопическую коммутативность объекта через гомотопическую ассоциативность морфизма"
*можно, кстати, рассматривать категорию строго ассоциативных колец и "гомотопических гомоморфизмов" (если правильно помню, примерно об этом категория DASH Манкхольма: differential algebras + strongly homotopy multiplicative maps
Сейчас вместо "shm map" мы говорим "A_∞-морфизм")
Машинное обучение (Ml) сокращает время обучения, но ослабляет критическое мышление
Эксперимент в HIT показывает, что студенты учатся с помощью Ml так же эффективно, как и с живыми преподавателями, однако излишняя зависимость может негативно сказаться на успеваемости
Факультет образовательных технологий Холонского технологического института (HIT) представил свое исследование на конференции Calcalist AI, проведенной совместно с Vultr, на тему, может ли Ml заменить лектора-человека
«Мы сосредоточились на трёх основных вопросах
Во-первых, если студенты учатся с помощью Ml вместо традиционного преподавателя, есть ли разница в их достижениях?
Во-вторых, как Ml влияет на эффективность процесса обучения?
В-третьих, есть ли связь между частотой использования Ml и успеваемостью студентов?»
https://www.calcalistech.com/ctechnews/article/r680lt05p
Эксперимент в HIT показывает, что студенты учатся с помощью Ml так же эффективно, как и с живыми преподавателями, однако излишняя зависимость может негативно сказаться на успеваемости
Факультет образовательных технологий Холонского технологического института (HIT) представил свое исследование на конференции Calcalist AI, проведенной совместно с Vultr, на тему, может ли Ml заменить лектора-человека
«Мы сосредоточились на трёх основных вопросах
Во-первых, если студенты учатся с помощью Ml вместо традиционного преподавателя, есть ли разница в их достижениях?
Во-вторых, как Ml влияет на эффективность процесса обучения?
В-третьих, есть ли связь между частотой использования Ml и успеваемостью студентов?»
https://www.calcalistech.com/ctechnews/article/r680lt05p
ctech
AI cuts study time but weakens critical thinking, research finds
Dr. Meital Amzaleg’s experiment at HIT shows students learn as effectively with AI as with human lecturers, but overreliance may harm performance.
💯1