Группа самосовмещений правильного треугольника состоит из нейтрального элемента, поворотов на 2Pi/3 и 4Pi/3 и симметрий относительно каждой из высот. Ясно, что подгруппа, содержащая один поворт, содержит и другой. Таким образом, есть три очевидные подгруппы: тривиальная, несобственная и содержащая повороты (и нейтральный элемент), а все остальные возможные подгруппы поворотов не содержат. Ясно, что две различные симметрии в произведении дают повотрот, а значит не содержатся одновременно ни в какой собственной подгруппе. Так что кандидатами на подгруппы остаются только множетсва, не содержащие поворотов и содержащие ровно по одной симметрии, то есть двуэлементные множества из нейтрального элемента и симметрии. Так как квадрат симметрии -- тождественное преобразование, это действительно подгруппы. Итого: тривиальная, несобственная, 3 подгруппы порядка 2, порожденные симметриями, и 1 подгруппа порядка 3, порожденная поворотом (любым). Случай квадрата аналогичен.
Немного цифр от @QuotLyBot
Позже сделаю рассылку с рекламой бота в @fStikBot и посмотрим на результат.
Позже сделаю рассылку с рекламой бота в @fStikBot и посмотрим на результат.